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    <title>质点运动学</title>
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</head>
<body>

<h2>例子</h2>

<p class="example">
	<b>直线运动</b>
	作直线运动的质点, 其位置 `s`, 速度 `v`, 加速度 `a` 是时间 `t` 的函数,
	其中
	<span class="formula">
		`v = ("d"s)/dt`, `quad a = ("d"v)/dt`.
	</span>
	当 `a` 是常数时, 称为匀变速直线运动. 在时间 `[0, t]` 上积分可得
	<span class="formula">
		`v = v_0 + a t`, `quad s = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2`.
	</span>
	上式消去 `t` 得到
	<span class="formula">
		`s - s_0 = t(v_0 + 1/2 a t)`
		`= (v-v_0)/a (v_0 + 1/2 (v-v_0))`
		`= ((v-v_0)(v+v_0)) / (2a)`,
	</span>
	即
	<span class="formula">
		`2a Delta s = v^2 - v_0^2`,
	</span>
	其中 `Delta s = s - s_0` 表示末位置与初位置的差, 称为位移.
</p>

<p class="example">
	<b>曲线运动</b>
	作曲线运动的质点, 其位置 (又叫位矢) `bm r`, 速度 `bm v`, 加速度 `bm a`
	是矢量 (在手写时通常写成 `vec r`, `vec v`, `vec a`), 它们满足
	<span class="formula">
		`bm v = ("d"bm r)/dt`, `quad bm a = ("d"bm v)/dt`.
	</span>
	速度的大小 `v = |bm v|` 称为速率, 满足
	<span class="formula">
		`v = ("d"s)/dt`,
	</span>
	`"d"s` 为弧长微元.
</p>

<ol class="example">
	<b>抛体运动</b> 可以分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的匀加速运动.
	设 `t = 0` 时质点位于原点,
	初速度大小为 `v_0`, 方向与 `x` 轴成 `alpha` 角, 则参数方程为
	<span class="formula">
		`dx/dt = v_0 cos alpha`, `quad dy/dt = v_0 sin alpha - g t`.
	</span>
	积分得到
	<span class="formula">
		`x = v_0 t cos alpha`, `quad y = v_0 t sin alpha - 1/2 g t^2`.
	</span>
	上式消去 `t` 得到轨迹方程
	<span class="formula">
		`y = x tan alpha - g/2 (x/(v_0 cos alpha))^2`,
	</span>
	这是抛物线方程.
	<li>
	观察方程知, 抛体运动还可以分解为沿初速度方向的直线运动
	`y = x tan alpha` 和自由落体运动 `y = -1/2 g t^2` 之和.
	</li>
	<li>
	在抛物线的顶点处有 `dy/dt = 0`, 即 `t = v_0 sin alpha // g`, 代入
	`y(t)` 的表达式得
	<span class="formula">
		`y_(max) = (v_0^2 sin^2 alpha)/(2g)`,
	</span>
	因此 `alpha = 90^@` 时抛体运动具有最大射高.
	</li>
	<li>
	另一方面, 在抛物线与 `x` 轴的交点处有 `y = 0`, 即 `t = 0` 或 `2v_0 sin
	alpha // g`. 后者代入 `x(t)` 的表达式得
	<span class="formula">
		`x_(max) = (v_0^2 sin 2 alpha) / g`,
	</span>
	因此 `alpha = 45^@` 时抛体运动具有最大射程.
	此外若 `alpha_1 + alpha_2 = 90^@`, 由上式知道两个抛体运动具有相同射程.
	</li>
</ol>

<p class="example">
	<b>匀速圆周运动</b>
	设 `t = 0` 时质点的相位为 `0`,
	其角速度 `omega gt 0` 为常数, 圆周半径为 `R`, 则参数方程为
	<span class="formula">
		`x = R cos omega t`, `quad y = R sin omega t`.
	</span>
	求导得
	<span class="formula">
		`v_x = -omega R sin omega t`, `quad v_y = omega R cos omega
		t`,<br/>
		`a_x = -omega^2 R cos omega t`, `quad a_y = -omega^2 R sin omega
		t`.
	</span>
	速度大小和加速度大小分别为
	<span class="formula">
		`v = sqrt(v_x^2 + v_y^2) = omega R`,<br/>
		`a = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = omega^2 R = v^2 / R`.
	</span>
	用向量内积容易验证 `bm v _|_ bm a`, 这不是巧合,
	事实上, 曲线在取定弧长参数时, 切向量的导数总是与自身垂直 (见微分几何).
</p>

<ol class="example">
  <b>天体运动</b>
  [崔尚斌 数学分析教程 8.3.4 从开普勒定律推导万有引力定律] <br/>
  利用万有引力定律和牛顿三大定律, 推导天体运动的开普勒三大定律, 即
  <li>椭圆轨道;</li>
  <li>单位时间内, 向径 `bm r` 扫过的面积为常数;</li>
  <li>周期正比于 `a^(3/2)`, `a` 为半长轴;</li>
</ol>

<ol class="solution">
    <li>受力分析.
        记地球 `m` 相对于太阳 `M` 的位矢为 `bm r`, 考虑地球的受力,
        利用万有引力定律和牛顿第二定律得到 `bm r` 满足的微分方程
        <span class="formula">
            `m ddot bm r = -G (mM)/r^3 bm r`,
        </span>
        即
        <span class="formula">
            `ddot bm r + mu/r^3 bm r = bb 0`,
            <span class="label" id="for-r"></span>
        </span>
        其中 `mu = G M`.
    </li>
    <li>角动量守恒.
        在 <a class="ref" href="#for-r"></a> 两边叉乘 `bm r`, 得
        <span class="formula">
            `bm r xx ddot bm r = bb 0`.
        </span>
        积分得
        <span class="formula">
            `bm r xx dot bm r = bm h`,
        </span>
        积分常数 `bm h` 称为角动量, 它垂直于轨道平面.
    </li>
    <li>拉普拉斯积分.
        应用 <a href="../../math/diff-geo/1.html#exp-dot-r">
        矢量分析的结论</a>,
        <span class="formula">
            `dot hat bm r = (bm h xx bm r)/r^3`,
        </span>
        其中 `hat bm r = bm r/r`.
        在 <a class="ref" href="#for-r"></a> 两边叉乘 `bm h`,
        <span class="formula">
            `ddot bm r xx bm h + mu/r^3 bm r xx bm h = bb 0`,
        </span>
        积分得
        <span class="formula">
            `dot bm r xx bm h - mu hat bm r = bm f`,
        </span>
        积分常数 `bm f` 称为拉普拉斯矢量 (或龙格楞次矢量).
    </li>
    <li>开普勒第一定律.
        在拉普拉斯积分两边点乘 `bm r`,
        <span class="formula">
            `r f cos theta`
            `= bm r * bm f`
            `= bm r * (dot bm r xx bm h) - mu (bm r * bm r)/r`
            `= (bm r xx dot bm r) * bm h - mu r`
            `= h^2 - mu r`,
        </span>
        整理得
        <span class="formula">
            `r = h^2/(mu + f cos theta)`,
        </span>
        这正是圆锥曲线的极坐标方程.
    </li>
    <li>开普勒第二定律.
        将 `dot bm r` 正交分解,
        其中 `hat bm theta` 是与 `bm r, bm h` 都垂直的单位向量:
        <span class="formula">
            `dot bm r = dot r hat bm r + r dot theta hat bm theta`.
        </span>
        两边叉乘 `bm r` 得
        <span class="formula">
            `bm h = r^2 dot theta (hat bm r xx hat bm theta)`,
        </span>
        即 `h = r^2 dot theta`.
        `dt` 时间内, `bm r` 扫过的扇形面积为 `"d"S = 1/2 r^2 "d" theta`,
        于是
        <span class="formula">
            `("d"S)/dt = 1/2 r^2 ("d"theta)/dt = 1/2 r^2 dot theta = h/2`.
        </span>
        由于 `h` 是常数, 所以单位时间内 `bm r` 扫过的面积为常数.
    </li>
    <li>开普勒第三定律.
        利用椭圆的面积 `S = pi a b = h/2 T` 得到周期的公式
        <span class="formula">
            `T = (2 pi a b)/h`.
        </span>
        因为 `h^2` 正比于 `b^2/a`, 所以 `T` 正比于 `a^(3/2)`.
    </li>
</ol>

<h2>变分原理</h2>

<p class="definition">
  每个力学系统可以用一个确定的 <b>Lagrange 函数</b> `L(q, dot q, t)`
  表征, 其中 `q` 为广义坐标, 可以是多维的.
</p>

<p class="principle">
  Lagrange 函数具有<b>可加性</b>:
  设力学系统由 A, B 两部分组成, Lagrange 函数分别为 `L_A`, `L_B`,
  当两部分趋于无穷远, 之间的相互作用可以忽略时, 系统的 Lagrange
  函数趋于它们的和:
  <span class="formula">
    `lim L = L_A + L_B`.
  </span>
</p>

<p class="principle">
  <b>最小作用量原理 (又名变分原理, Hamilton 原理)</b>
  给出了力学系统运动规律的最一般表述:
  在任意时刻 `t_1, t_2`, 之间, 系统的运动总是使 Lagrange 函数的积分
  (称为<b>作用量</b>)
  <span class="formula">
    `S = int_(t_1)^(t_2) L(q, dot q, t) dt`
  </span>
  取得最小值.
</p>

<p class="theorem">
	<b>Euler-Lagrange 方程 (第一形式)</b>
	设 `q(t) in C^1[a,b]`, `L(q, dot q, t) in C^2[a,b]`,
	用 `C_0^1[a,b]` 表示在 `[a,b]`
	上连续可微, 且满足齐次边界条件的全体函数:
	<span class="formula">
		`C_0^1[a,b] = C^1[a, b] nn {f: f(a) = f(b) = 0}`.
	</span>
	则泛函
	<span class="formula">
		`S(q) = int_a^b L(q, dot q, t) dt`
	</span>
  取极值的充分条件是下式成立:
	<span class="formula">
		`(del L)/(del q) = "d"/dt (del L)/(del dot q)`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	`S(q)` 在 `q = q^**` 时取极值当且仅当对任意 `eta(t) in C_0^1[a,b]`, 函数
	<span class="formula">
		`varphi(epsi) = S(q^** + epsi eta)`
	</span>
	在 `epsi = 0` 处取极值, 这时有 `varphi'(0) = 0`.
	积分与求导换序, 再应用分部积分, 注意 `eta` 满足齐次边界条件, 有
	<span class="formula">
		`0 = int_a^b "d"/("d"epsi) L(q^**+epsi eta, dot q^** + epsi dot eta, t) dt`
		`= int_a^b ((del L)/(del q) eta + (del L)/(del dot q) dot eta) dt`
		`= int_a^b [(del L)/(del q)-"d"/dt (del L)/(del dot q)] eta dt`.
	</span>
  由函数 `eta` 的任意性, 按<a href="../../math/analysis/11.html">变分引理</a>有
	<span class="formula">
		`(del L)/(del q) - "d"/dt (del L)/(del dot q) = 0`
	</span>
	几乎处处成立.
	当 `L` 二阶连续可微时, 上式左边连续, "几乎处处为零" 可以加强为
	"处处为零".
</p>

<p class="remark">
  在定理的证明中, 函数 `eta` 称为 `q` 的<b>变分</b>, 通常记作 `delta q`.
  变分可以表示函数的微小扰动, 由于 `delta q` 满足边界条件,
  所以函数与变分的叠加 `q + delta` 仍属于 `C_0^1[a, b]`.
  因此, 最小作用量原理可以写成
  <span class="formula">
    `delta S = int_a^b ((del L)/(del q) delta q + (del L)/(del dot q) delta dot q) dt = 0`.
  </span>
  其中, 一阶变分记号 `delta` 遵循类似微分的链式法则, 且 `delta dot
  q = "d"/dt delta q`.
</p>

<p class="corollary">
  <b>Euler-Lagrange 方程 (第二形式)</b>
	<span class="formula">
		`"d"/dt(L - dot q(del L)/(del dot q))`
		`= (del L)/(del t)`.
	</span>
  特别当 `L` 不显含 `t` 时, `(del L)/(del t) = 0`, 得
	<span class="formula">
		`L - dot q (del L)/(del dot q) = c`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
  直接计算, 左边等于
  <span class="formula">
		`(del L)/(del t) + dot q (del L)/(del q) + ddot q (del L)/(del dot q)`
    `- ddot q (del L)/(del dot q)  - dot q "d"/dt (del L)/(del dot q)`,
  </span>
  由 Euler-Lagrange 方程第一形式知, 上式等于 `(del L)/(del t)`.
</p>

<p class="example">
	<b>最速降线</b>
	设竖直平面内的两点 `O, A` 不在同一竖直线上, 且 `O` 位置较高.
	求 `O, A` 之间的曲线轨道, 使得从 `O` 点由静止释放的小球沿该轨道运动时,
	到达 `A` 点所用时间最少.
</p>

<p class="solution">
	建立平面直角坐标系, `x` 轴沿水平方向, `y` 轴竖直向下.
	由动能定理求得瞬时速率 `v = sqrt(2 g y)`, 由
	<span class="formula">
      `v = ("d"s)/dt = sqrt(1+{:y':}^2) dx/dt`
	</span>
	得
	<span class="formula">
      `dt = sqrt((1+{:y':}^2)/(2g y)) dx`.
	</span>
    令 `L(x, y, y') = sqrt((1+{:y':}^2)/(2g y))`, 因为 `L` 不显含 `x`,
	由 Euler-Lagrange 方程的第二形式,
	<span class="formula">
      `sqrt((1+{:y':}^2)/(2g y)) - ({:y':}^2)/sqrt((2g y)(1+{:y':}^2))`
      `= 1/sqrt(2g y) 1/sqrt(1+{:y':}^2) = c`.
	</span>
	记 `r = 1/(4c^2 g)`, 化简得
	<span class="formula">
		`y' = sqrt((2r)/y - 1)`, 即
		`dx/dy = sqrt(y/(2r-y))`.
	</span>
	令 `y = r(1-cos theta)` 并积分得
	<span class="formula">
		`x = int sqrt((1-cos theta)/(1+cos theta)) r sin theta "d"theta`
		`= r int sqrt((1-cos theta)/(1+cos theta)) sqrt(1-cos^2 theta) "d"theta`
		`= r int (1-cos theta) "d"theta`
		`= r(theta - sin theta) + c_1`
	</span>
	由曲线过原点知 `c_1 = 0`. 从而曲线的参数方程为
	<span class="formula">
		`{x = r(theta - sin theta); y = r(1-cos theta):}`
	</span>
	这是摆线的方程.
</p>

<p class="example">
    <b>摆线的几条性质</b>
	摆线一拱下的面积等于 3 倍圆面积:
	<span class="formula">
		`S = int_(theta=0)^(2pi) y dx`
		`= int_0^(2pi) r(1-cos theta) (r(theta-sin theta))' "d"theta`
		`= r^2 int_0^(2pi) (1-2cos theta + cos^2 theta) "d"theta`
		`= r^2 (2pi + 0 + pi)`
		`= 3 pi r^2`.
	</span>
	摆线一拱的弧长等于 8 倍半径, 与 `pi` 无关:
	<span class="formula">
        `"d"s`
		`= sqrt(dx^2 + dy^2)`
		`= sqrt(r^2(1-cos theta)^2+r^2 sin^2 theta) "d"theta`
		`= r sqrt(2 - 2 cos theta) "d" theta`
        `= 2 r sin {:theta/2:} "d" theta`,<br/>
		`L = int_(theta=0)^(2pi) "d"s`
		`= 4 r int_0^pi sin u "d"u`
		`= 8 r`.
	</span>
	物体从任一起始位置以初速度 0 沿摆线下落,
    到达最低点用时相等 (摆线的等时性):
	<span class="formula">
		`T = int_(theta=theta_0)^pi ("d"s)/v`
        `= int_(theta_0)^pi (2r sin{:theta/2:} "d"theta)
        /sqrt(2 g r(cos theta_0-cos theta))`
        `= 2 sqrt(r/g) int_(theta_0)^pi (-"d"
        cos{:theta/2:})/sqrt(cos^2{:theta_0/2:} - cos^2{:theta/2:})`
		`= pi sqrt(r/g)`.
	</span>
</p>

<p class="example" id="exp-pendulum">
    <b>单摆的周期</b>
</p>
<p class="solution">
    单摆运动的轨迹是圆弧 `(r cos theta, r sin theta)`, 因此
    <span class="formula">
        `"d"s = sqrt(dx^2 + dy^2) = r`,<br/>
        `v = sqrt(2 g Delta y) = sqrt(2 g r(cos theta - cos theta_0))`,<br/>
        `T = 4 int_(theta=0)^(theta_0) ("d"s)/v`
        `= 4 sqrt(r/(2g)) int_0^(theta_0) ("d"theta)/sqrt(cos theta-cos
        theta_0)`
        `= 2 sqrt(r/g) int_0^(theta_0) ("d"theta)/sqrt(sin^2(theta_0//2)
        - sin^2(theta//2))`.
    </span>
    这并非初等积分, 我们令 `sin xi = sin(theta//2) / sin(theta_0//2)`,
    于是 `cos xi "d"xi = cos(theta//2)/sin(theta_0//2) ("d"theta)/2`,
    <span class="formula">
        `int_0^(theta_0) ("d"theta)/sqrt(sin^2(theta_0//2)
        - sin^2(theta//2))`
        `= int_0^(theta_0) ("d"theta)/(sin(theta_0//2) cos xi)`
        `= 2 int_0^(pi/2) ("d"xi)/cos(theta//2)`
        `= 2 int_0^(pi/2) ("d"xi)/sqrt(1-sin^2(theta//2))`
        `= 2 int_0^(pi/2) ("d"xi)/sqrt(1-sin^2(theta_0//2) sin^2 xi)`
        `= 2 K(sin {:theta_0/2:})`,
    </span>
    其中
    <span class="formula">
        `K(z) = int_0^(pi/2) ("d"xi)/sqrt(1-z^2 sin^2 xi)`
    </span>
    是第一类完全椭圆积分. 当摆幅足够小时, `sin theta_0 ~~ theta_0`,
    利用展式 `K(z) = pi/2(1 + z^2/4 + cdots)` 得
    <span class="formula">
        `T ~~ 2 pi sqrt(r/g) (1 + theta_0^2/16 + cdots)`.
    </span>
    由此看出, 单摆周期与起始位置 `theta_0` 有关, 它只有近似的等时性,
    而摆线才具有严格的等时性.
</p>

<p class="solution">
    积分展开式的首项可以这样得到:
    由 `cos theta ~~ 1 - theta^2/2`,
    <span class="formula">
        `(cos theta - cos theta_0)^(-1//2)`
        `~~ sqrt(2/(theta_0^2 - theta^2))`,
    </span>
    代入积分得
    <span class="formula">
        `T/4 ~~ sqrt(r/g) int_0^(theta_0)
        ("d"theta)/sqrt(theta_0^2-theta^2)`
        `= sqrt(r/g) pi/2`,
    </span>
    因此 `T ~~ 2pi sqrt(r/g)`.
</p>

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</body>
</html>
